Cómo resolver un sistema de ecuaciones

Cómo resolver un sistema de ecuaciones: métodos y ejemplos prácticos

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?

Los sistemas de ecuaciones lineales son un conjunto de ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente para encontrar la solución común a todas ellas. Las ecuaciones lineales se definen como aquellas que pueden escribirse en la forma a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n = b, donde las incógnitas x₁, x₂,…,x_n son elevadas a la primera potencia y a, b son constantes conocidas. Los coeficientes a₁, a₂,…,a_n representan los valores numéricos que multiplican a cada incógnita, y b es el término independiente.

Definición de las ecuaciones lineales y sus coeficientes

Las ecuaciones lineales son aquellas que se escriben en la forma a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n = b donde las incógnitas x₁, x₂,…,x_n son elevadas a la primera potencia y a, b son constantes conocidas. Los coeficientes a₁, a₂,…,a_n representan los números que multiplican a cada incógnita, y b es el término independiente.

Diferencia entre una ecuación y un sistema de ecuaciones

A diferencia de una ecuación, que tiene una única incógnita, un sistema de ecuaciones lineales tiene múltiples incógnitas y múltiples ecuaciones. Se resuelve simultáneamente para encontrar la solución común a todas las ecuaciones.

Tipos de sistemas de ecuaciones

Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Un sistema es compatible determinado si tiene una solución única que satisface todas las ecuaciones, compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones y los valores de las incógnitas no pueden ser únicos, e incompatible si no tiene soluciones que satisfagan todas las ecuaciones.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales sería:

2x + 3y = 8
5x – 4y = -7

Este sistema tiene dos incógnitas, x e y y dos ecuaciones lineales. Se puede resolver utilizando cualquiera de los métodos explicados en las secciones siguientes

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Método de sustitución

El método de sustitución es un proceso para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el que se aíslan una de las incógnitas en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación. Luego se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de una de las incógnitas. A continuación se detallan los pasos a seguir para resolver un sistema de ecuaciones por sustitución:

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por sustitución

Aísla una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
Sustituye el valor de la incógnita recién aislada en la otra ecuación.
Resuelve la ecuación resultante obteniendo el valor de la segunda incógnita.
Sustituye los valores obtenidos en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la incógnita restante.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones resueltos por sustitución

A continuación se presentan algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones resueltos por sustitución: Ejemplo 1: 2x + y = 8 \\ x – y = 2. Aislamos la incógnita x en la segunda ecuación: x = 2 + y y la sustituimos en la primera ecuación: 2(2 + y) + y = 8, lo que nos da como resultado y = 2. Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación original: x = 2 + 2 = 4. Ejemplo 2: 3x + 4y = -2 \\ 2x – 3y = 29. Aislamos la incógnita x en la segunda ecuación: x = (29 + 3y)/2 y la sustituimos en la primera ecuación: 3(29+3y)/2 + 4y = -2, lo que nos da como resultado y = -5. Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación original: x = 9.

Problemas prácticos resueltos por sustitución

Para practicar el método de sustitución, se presentan algunos problemas prácticos resueltos a continuación: Problema 1: Laura compró 20 productos a 5 cada uno. Si algunos productos costaron 4 y otros 6, ¿cuántos de cada uno compró? Sistema de ecuaciones: x + y = 20 \\ 4x + 6y = 100. Donde x es la cantidad de productos a 4 y y es la cantidad de productos a 6. Aislamos y en la primera ecuación: y = 20 – x y la sustituimos en la segunda ecuación: 4x + 6(20 – x) = 100, lo que nos da como resultado x = 10. Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación original: y = 10. Laura compró 10 productos a 4 y 10 productos a 6.

Método de igualación

El método de igualación es un proceso para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el que ambas ecuaciones se igualan a una misma incógnitas. Luego se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de una de las incógnitas. A continuación se detallan los pasos a seguir para resolver un sistema de ecuaciones por igualación:

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por igualación

Igualar ambas ecuaciones a una misma incógnita.
Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de una de las incógnitas.
Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones resueltos por igualación

A continuación se presentan algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones resueltos por igualación: Ejemplo 1: 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 6. Igualamos ambas ecuaciones a una misma incógnita, por ejemplo, y: 2x + y = y 2x = 0 x = 0 4x + 2y = y 4x + y = 0 y = 0 .La solución de este sistema es (0, 0). Ejemplo 2: x + 2y = 3 \\ x – y = 2. Igualamos ambas ecuaciones a una misma incógnita, por ejemplo, x: x + 2y = x – y 3y = -1 y = -1/3. Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales: x = 2 + (-1/3) = 5/3.

Problemas prácticos resueltos por igualación

Para practicar el método de igualación, se presentan algunos problemas prácticos resueltos a continuación: Problema 1: Un vendedor vendió manzanas y naranjas en una frutería. Vendió 6 manzanas y 9 naranjas por 10.50. Si las manzanas cuestan 0.50 más que las naranjas, ¿cuál es el precio de cada fruta? Sistema de ecuaciones: 6x + 9y = 10.50 \\ x = y + 0.5. Igualamos ambas ecuaciones a una misma incógnita, por ejemplo, x: 6x + 9y = 10.50 6(y+0.5) + 9y = 10.50 y = 0.50 x = 1.00. El precio de las manzanas es 1.00 y el precio de las naranjas es 0.50.

Método de reducción

El método de reducción es un proceso para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el que se combinan las dos ecuaciones para eliminar una de las incógnitas y luego se resuelve para encontrar el valor de la otra incógnita. A continuación se detallan los pasos a seguir para resolver un sistema de ecuaciones por reducción:

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por reducción

Multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para hacer que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales.
Restar o sumar ambas ecuaciones para eliminar la incógnita con el mismo coeficiente.
Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de una de las incógnitas.
Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones resueltos por reducción

A continuación se presentan algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones resueltos por reducción: Ejemplo 1: 2x + y = 3 \\ 4x – y = 5. Multiplicamos la primera ecuación por -1 para que los coeficientes de y en ambas ecuaciones sean iguales: -2x – y = -3 \\ 4x – y = 5. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar y: 2x = 2 x = 1 Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales: y = 1. Ejemplo 2: x + 2y = 7 \\ -5x + 6y = -4. Multiplicamos la primera ecuación por 5 y sumamos ambas ecuaciones para eliminar x: 5x + 10y = 35 \\ -5x + 6y = -4. 16y = 31 y = 31/16 . Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales: x = 5/16.

Cómo comprobar la solución obtenida

Pasos para comprobar la solución

Una vez obtenida una solución al sistema de ecuaciones, es importante comprobar que esta realmente cumple con todas las ecuaciones del sistema. El proceso para comprobar la solución es sencillo y se compone de los siguientes pasos:

Sustituir los valores de las incógnitas en cada una de las ecuaciones del sistema
Realizar los cálculos necesarios para obtener un resultado numérico
Verificar que el resultado coincide con el valor conocido en el segundo miembro de la ecuación

Ejemplos de sistemas de ecuaciones comprobados correctamente

A continuación, se presentan algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones y su correspondiente solución comprobada de manera correcta:

Ejemplo 1:

Sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 13
x – 4y = -19

Solución encontrada: x = -5, y = 3. Verificación:

+ 3(3) = -10 + 9 = -1
-5 – 4(3) = -5 – 12 = -17

La solución encontrada cumple con ambas ecuaciones del sistema.

Ejemplo 2:

Sistema de ecuaciones:

4x – y = 15
3x + 2y = 0

Solución encontrada: x = -2, y = 3. Verificación:

– 3 = -11
+ 2(3) = 0

La solución encontrada cumple con ambas ecuaciones del sistema.

Problemas prácticos comprobados

Para practicar la comprobación de soluciones, se proponen algunos problemas prácticos con sus respectivas soluciones comprobadas:

Problema 1:

Encuentra las soluciones del sistema de ecuaciones:

x + y = 5
2x + 3y = 13

Solución encontrada: x = -1, y = 6. Verificación:

-1 + 6 = 5
+ 3(6) = 13

La solución encontrada cumple con ambas ecuaciones del sistema.

Problema 2:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

3x – 2y = 8
5x + 4y = 14

Solución encontrada: x = 2, y = -1. Verificación:

– 2(-1) = 8
+ 4(-1) = 14

La solución encontrada cumple con ambas ecuaciones del sistema. Como se puede observar, la comprobación de la solución obtenida es crucial para asegurar que se han encontrado las soluciones correctas a los sistemas de ecuaciones lineales.

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